KutupsalMATEMATİK ATÖLYESİ
Formül rehberi

Bir denklem. Sonsuz keşif.

Kutupsal koordinatları görerek anla, deneyerek öğren.

Denklemi değiştir.
Matematiğin şeklini keşfet.
Kutupsal düzlemİnteraktif grafik

Her kutu grafikteki bir noktadır. Kutunun ya da noktanın üstüne gelince ikisi birlikte vurgulanır; tıklayınca seçim sabit kalır. Elle çizimde önce bu noktalar bulunur, sonra birleştirilir.

Formül rehberi

Sık kullanılan değerler ve formüller. Tabloda bir açıya tıklayınca nokta dönüşümü o açıyla açılır.

Özel açılar

Kutupsaldan kartezyene

x = r·cos θ
y = r·sin θ

(r, θ) verilen bir noktanın x ve y koordinatlarını bulmak için.

Kartezyenden kutupsala

r² = x² + y²
tan θ = yx

θ seçilirken noktanın hangi bölgede olduğuna bakılır.

Aynı noktanın yazımları

(r, θ) = (r, θ + 2kπ)
(r, θ) = (−r, θ + (2k + 1)π)

Bir noktanın sonsuz sayıda kutupsal yazımı vardır; k bir tam sayıdır.

Alan

A = ½ ∫ r² dθ

Eğri ile θ₁ ve θ₂ ışınları arasında kalan bölgenin alanı.

Yay uzunluğu

L = ∫ √(r² + (dr/dθ)²) dθ

Eğrinin θ₁ ile θ₂ arasındaki parçasının uzunluğu.

Teğetin eğimi

dy/dx = r′·sin θ + r·cos θr′·cos θ − r·sin θ

Payda 0 ise teğet düşey, pay 0 ise yataydır. r′ = dr/dθ.

Simetri testleri

Kutup ekseni (x ekseni)θ → −θya da (r, θ) → (−r, π − θ)
θ = π/2 doğrusu (y ekseni)θ → π − θya da (r, θ) → (−r, −θ)
Kutup (orijin)r → −rya da θ → θ + π

Yerine koymadan sonra denklem aynı kalıyorsa eğri o simetriye sahiptir. Testler yeterli koşuldur, gerekli değildir: test sağlanmasa da eğri simetrik olabilir.